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\handout{160690220:\hspace{0.08cm}实变函数}{2025 Fall}{Lecture 1: 集和集的运算 }{Professor:\hspace{0.08cm}\emph{邓桂丰}}{\emph{邓桂丰, AI, 唐嘉琪}}

\section{集的概念}

在现代数学中, 集的概念已被普遍地采用. 通常把具有某种特定性质的具体的或抽象的对象的\textbf{全体}称做集合, 或简称为\textbf{集}, 其中的每个对象称为该集中的\textbf{元素}. 

例如, 在代数学中, 群、环、域等都是某种集, 这种集的各个元素之间具有一定的代数关系；在几何学中, 直线、曲线、曲面等都可以看作是由点所组成的点集；数学分析中的实数集、连续函数集、某函数的定义域等都是常用的集. 

集是数学的一个基础概念. 集论\footnote{集论的重要文献首先是德国数学家 G. Cantor(康托尔)在十九世纪末发表的, 后来逐步发展成为数学的一个分支, 集论中的某些概念和结果已成为近代数学中许多分支的基础. }是研究集的一般性质的, 属于数学基础的一个分支. 关于集和元素的严谨的定义属于集论的研究范围, 这里不予涉及. 

以后我们常用大写字母 \(A, B, X, Y, \dots\) 表示集, 而用小写字母 \(a, b, x, y, \dots\) 表示元素. 

对于一个集 \(A\) 来说, 某一对象 \(x\) 或者是集 \(A\) 的元素——这时, 我们说 \(x\) \textbf{属于} \(A\), 记为 \(x \in A\)；或者 \(x\) 不是集 \(A\) 的元素——即 \(x\) 不属于 \(A\), 记为 \(x \notin A\)；二者必居其一. 

当集 \(A\) 是具有某性质 \(P\) 的元素全体时, 我们往往用下面的形式来表示 \(A\): 
\[
A = \{x \mid x \text{ 具有性质 }\,P\}
\]
例如方程 \(x^2 - 1 = 0\) 的解 \(x\) 的全体组成的数据集是 \(\{x \mid x^2 - 1 = 0\}\). 如果能够明确写出集 \(A\) 的所有元素, 也可以都列举在大括号里面, 例如上面这个数集就是 \(\{1, -1\}\). 有时我们也把集 \(\{x \mid x \in E, x \text{ 有性质 } P\}\) 改写成 \(E(x \text{ 有性质 } P)\). 例如, 设 \(f(x)\) 是 \(E\) 上的一个函数, \(c\) 是一个实数, 我们把集 \(\{x \mid x \in E, f(x) \leqslant c\}\) 写成 \(E(f(x) \leqslant c)\). 

\section{集的关系}

\begin{definition}
如果集 \(A\) 中的元素都是集 \(B\) 的元素, 那么称 \(A\) 是 \(B\) 的\textbf{子集}, 记做 \(A \subseteq B\), 读做 \(A\) 包含在 \(B\) 中, 或记做 \(B \supseteq A\), 读作 \(B\) 含有 \(A\). 
\end{definition}

显然, \(A \subseteq A\). 有时为研究问题的需要, 我们引入不含有任何元素的集合, 称为\textbf{空集}, 记为 \(\varnothing\). 例如 \(\{x \mid x \text{ 是实数且 } x^2+1=0\}\) 是一空集. 我们规定空集是任何集的子集. 如果 \(A \subseteq B\), 而 \(B\) 中确有元素 \(b\) 不属于 \(A\), 称 \(A\) 是 \(B\) 的\textbf{真子集}. 例如 \(A\) 是平面上以正有理数做半径的圆的全体, \(B\) 是平面上所有圆的全体, 那么 \(A\) 是 \(B\) 的一个真子集. 

如果 \(A \subseteq B\), 而且又有 \(B \subseteq A\), 这时 \(A, B\) 由相同的元素组成, 就是同一集, 称 \(A\) 等于 \(B\)(或 \(B\) 等于 \(A\)), 记做 \(A = B\)(或 \(B = A\)). 例如 \(\{x \mid x^2-1=0\} = \{1, -1\}\). 

\section{集的运算}

\begin{definition}
设 \(A, B\) 是两个集, 由集 \(A\) 同集 \(B\) 的一切元素所组成的集称做 \(A\) 同 \(B\) 的\textbf{和集}或\textbf{并集}, 简称为``\textbf{和}''或``\textbf{并}'', 记做 \(A \cup B\)；所有既属于集 \(A\) 又属于集 \(B\) 的元素组成的集, 称为 \(A\) 和 \(B\) 的\textbf{通集}或\textbf{交集}, 也简称为``\textbf{通}''或``\textbf{交}'', 记做 \(A \cap B\). 
\end{definition}

\begin{center}
\includegraphics{fig/Lec1_fig1} % 需要实际图片文件
\end{center}

完全类似地可以定义任意个集的和集及通集. 设 \(\{A_\alpha \mid \alpha \in N\}\) 是任意一组集, 其中 \(\alpha\) 是集的指标, 它在某个指标集 \(N\) 中变化, 由一切 \(A_{\alpha}(\alpha \in N)\) 的所有元素所组成的集称做这组集的和集, 记做$
\bigcup\limits_{\alpha \in N} A_{\alpha}
$
也记为 \(\sum\limits_{\alpha \in N} A_{\alpha}\)；同时属于每个集 \(A_{\alpha}(\alpha \in N)\) 的一切元素所组成的集, 称做这组集的通集, 记做 \(\bigcap\limits_{\alpha \in N} A_{\alpha}\) 或 \(\prod\limits_{\alpha \in N} A_{\alpha}\). 

应该注意, 由若干个集构成和集时, 同时是两个或两个以上的集所公有的元素在和集中只算做一个. 另外, 当 \(A \cap B = \varnothing\) 时, 我们又简称为 \(A\) 与 \(B\) 不交. 当 \(A \cap B \neq \varnothing\) 时, 简称为 \(A\) 与 \(B\) 相交. 

\begin{property}
``和''、``通''运算具有下面一些性质: 
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{0}
\item \(A \cup A = A, A \cap A = A\)\quad(和、通的幂等性)；
\item \(A \cup \varnothing = A\)\quad(空集是加法的零元)；
\item \(A \cup B = B \cup A\)\quad(和的交换律)；\\
\(A \cap B = B \cap A\)\quad(通的交换律)；
\item \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)\quad(和的结合律)；\\
\((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\)\quad(通的结合律)；
\item \((A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)\)\quad(分配律)；
\item 如果 \(A \subseteq B\), 那么对任意的集 \(C\) 成立着
\[
A \cup C \subseteq B \cup C, \quad A \cap C \subseteq B \cap C\quad\text{(和、通的保单调性).}
\]
\end{enumerate}
\end{property}

在集合之间, 除了上面的``加法''和``乘法''以外, 我们再引入减法: 

\begin{definition}
设 \(A, B\) 为两个集, 由集 \(A\) 中不属于 \(B\) 的那些元素全体所组成的集, 称做集 \(A\) 减集 \(B\) 的\textbf{差集}, 记做 \(A - B\) 或 \(A \setminus B\)(注意, 这里并不要求 \(A \supseteq B\)). 当 \(B \subseteq A\) 时, 称差集 \(A - B\) 为 \(B\) 关于 \(A\) 的\textbf{余集}, 记做 \(\complement_{A}B\). 当我们只讨论某个固定集 \(A\) 的一些子集 \(B\) 时, 常简记 \(A - B\) 为 \(B^{\mathsf C}\) 或 \(\complement(B)\), 并称它是 \(B\) 的余集. 
\end{definition}



\begin{property}``减法''运算(或称求余运算), 显然有下面的性质: 
\begin{enumerate}%[label=\arabic{*}\degree, start=7]
\setcounter{enumi}{6}
\item 如果 \(A \subseteq B\), 那么 \(A - B = \varnothing\);
\item \((A - B) \cap C = (A \cap C) - (B \cap C)\) (``减法''分配律);
\item \((C - A) - B = C - (A \cup B)\);
\item 如果 \(A \subseteq C, B \subseteq C\), 那么 \(A - B = A \cap C_0 B\).
\end{enumerate}
\end{property}

我们称集 \((A - B) \cup (B - A)\) 为集 \(A\) 和集 \(B\) 的\textbf{对称差}, 记做
$
A \triangle B
$.

\begin{property}%[11\degree]
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{10}
	\item \(A \cup B = (A \triangle B) \cup (A \cap B)\).
\end{enumerate}

\end{property}

以上这些性质都可以从集的``包含''、``相等''、``和''、``通''以及``差''的定义推导出来, 其中有些还可以推广到任意个集的一般情况, 这里不一一证明. 图形可以帮助我们较直观地理解和记忆一些概念, 或者启发我们思考问题, 是学习中的一种有效工具, 以后将经常采用. 但是必须指出, 决不能把图形的示意看成定义, 或者定理的证明. 因为定义必须要用确切的文字叙述, 而定理的证明是必须经过严格的逻辑论证. 

下面介绍两个有用的公式——\textbf{和通关系式}: 

\begin{property}%[12\degree, 13\degree]
设 \(S\) 是任意一个集, \(\{A_\alpha \mid \alpha \in N\}\) 是任一族集, 那么有
\begin{align}
S - \bigcup\limits_{\alpha \in N} A_\alpha &= \bigcap\limits_{\alpha \in N} (S - A_\alpha) \label{1.1} \\
S - \bigcap\limits_{\alpha \in N} A_\alpha &= \bigcup\limits_{\alpha \in N} (S - A_\alpha) \label{1.2}
\end{align}
\end{property}

用文字叙述, 就是: 和集(关于 \(S\))的余集等于每个集(关于 \(S\))的余集的通集, 而通集(关于 \(S\))的余集等于每个集(关于 \(S\))的余集的和集.%(13\degree). 

\begin{center}
\includegraphics{fig/Lec1_fig2} % 需要实际图片文件
\end{center}

现在来证明和通关系式\eqref{1.1}和\eqref{1.2}. 

	首先, \eqref{1.1}式左边是属于 \(S\) 而不属于任何一个 \(A_{\alpha}(\alpha \in N)\) 的元素所成的集. 因而它属于每一个集 \(S-A_{\alpha}(\alpha \in N)\), 所以左边是右边的子集；完全类似地可以说明右边也是左边的子集. 这样, \eqref{1.1}式两边的集相同. 类似地可以证明\eqref{1.2}式, 希望读者自己进行分析和论证. 但为帮助读者熟悉论证和表达的方法, 我们把证明过程详细写出来. 这是用集论方法论证时常用的方法. 读者可以仿此证明上面各条性质1.--11. 
\begin{proof}[\eqref{1.1}的证明.]
现证记 \(S - \bigcup\limits_{\alpha \in N} A_{\alpha}\) 为 \(P\), \(\bigcap\limits_{\alpha \in N}(S - A_{\alpha})\) 为 \(Q\). 这样, 只要证明 \(P = Q\). 

设 \(x \in P\), 按定义有 \(x \in S\) 而且 \(x \notin \bigcup\limits_{\alpha \in N} A_{\alpha}\). 因此, 对每个 \(\alpha \in N\), \(x \notin A_{\alpha}\), 因而 \(x \in S - A_{\alpha}(\alpha \in N)\). 即 \(x \in Q\). 这就是说, 凡 \(P\) 中的元素都属于 \(Q\), 所以 \(P \subseteq Q\). 

反过来, 设 \(x \in Q\), 那么对任何 \(\alpha \in N\) 有 \(x \in S - A_{\alpha}\), 即 \(x \in S\), 而且 \(x \notin A_{\alpha}(\alpha \in N)\), 因此 \(x \notin \bigcup\limits_{\alpha \in N} A_{\alpha}\), 所以 \(x \in S - \bigcup\limits_{\alpha \in N} A_{\alpha} = P\), 这就是说, 凡 \(Q\) 中的元素必属于 \(P\), 所以 \(Q \subseteq P\). 综合起来就得到
\[
P = Q
\]
\end{proof}
\eqref{1.2}的证明是类似的, 略去. 

强调指出, \eqref{1.1}、\eqref{1.2}式中并不要求 \(S\) 包含每个 \(A_{\alpha}(\alpha \in N)\). 

\section{上限集与下限集}

\begin{definition}
设 \(A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}, \dots\) 是任意一列集. 由属于上述集列中无限多个集的那种元素全体所组成的集称为这一列集的\textbf{上限集}. 记做 \(\limsup\limits_{n \to \infty} A_{n}\) 或 \(\varlimsup\limits_{n \to \infty} A_{n}\)；而由属于集列中从某个指标 \(n_0(x)\)(这个指标不是固定的, 与元素 \(x\) 有关)以后所有集 \(A_n\) 的那种元素 \(x\) 全体(即除去有限多个集外的所有集 \(A_n\) 都含有的那种元素)组成的集称为这一列集的\textbf{下限集}, 记做 \(\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}\) 或 \(\varliminf\limits_{n\to\infty} A_{n}\). 
\end{definition}

{\color{red}\begin{rmk}
	上、下极限的数学语言描述为:
	\begin{align*}
		\varlimsup_{n\to\infty}A_n:=&\big\{x\colon \forall i\in \mathbb N^+,\exists j>i, x\in A_j \big\}\\
		\varliminf_{n\to\infty}A_n:=&\big\{x\colon \exists i\in \mathbb N^+,\forall j>i, x\in A_j \big\}
	\end{align*}
	%若$\varlimsup\limits_{n\to\infty}A_n=\varliminf\limits_{n\to\infty}A_n$, 则称集合列$\{A_n\}_{n\in\mathbb N^+}$收敛, 该集合称为$\{A_n\}_{n\in\mathbb N^+}$的极限, 记作$\lim\limits_{n\to\infty}A_n$.
\end{rmk}}

\begin{theorem}显然, 
	\begin{align}
	\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} A_n \subseteq \liminf\limits_{n \to \infty} A_n \subseteq \limsup\limits_{n \to \infty} A_n \subseteq \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \label{1.3}
\end{align}
\end{theorem}

\begin{example}\label{exam1}
设 \(A_n(n=1,2,\dots)\) 是如下一列点集: 
\begin{align*}
A_{2n+1} &= \left[0, 2 - \frac{1}{2n+1}\right], \quad n = 0,1,2,\dots \\
A_{2n} &= \left[0, 1 + \frac{1}{2n}\right], \quad n = 1,2,\dots
\end{align*}
我们来确定 \(\{A_n\}\) 的上限集和下限集. 

因为 \(A_n \subseteq [0,2)(n=0,1,2,\dots)\), 所以 \(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \subseteq [0,2)\)(其实是 \(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n = [0,2)\)). 根据\eqref{1.3}, 只要考察 \([0,2)\) 中点哪些属于 \(\limsup\limits_{n \to \infty} A_n\) 或 \(\liminf\limits_{n \to \infty} A_n\) 即可. 显然, \([0,1] \subseteq A_n(n=0,1,2,\dots)\), 所以 \(\liminf\limits_{n \to \infty} A_n \supseteq [0,1]\). 而对于 \((1,2)\) 中的任何点 \(x\), 必存在自然数 \(n_0(x)\), 使当 \(n > n_0(x)\) 时, 
\[
1 + \frac{1}{2n} < x \leqslant 2 - \frac{1}{2n+1}
\]
即当 \(n > n_0(x)\) 时, \(x \notin A_{2n}\), 但 \(x \in A_{2n+1}\). 换句话说, 对于开区间 \((1,2)\) 中的 \(x\), 具有充分大奇数指标的集都含有 \(x\), 从而 \(\{A_n\}\) 中有无限多个集合有 \(x\), 而充分大的偶数指标的集都不含有 \(x\), 即 \(\{A_n\}\) 中不含有 \(x\) 的集不是有限多个. 因此, 
\[
\limsup\limits_{n \to \infty} A_n = [0,2), \quad \liminf\limits_{n \to \infty} A_n = [0,1]
\]
\end{example}

\begin{example}
设 \(A_n = \left[0, 1 + \frac{1}{n}\right], n=1,2,\dots\). 类似于例\ref{exam1}中的讨论, 立即得到
\[
\limsup\limits_{n \to \infty} A_n = \liminf\limits_{n \to \infty} A_n = [0, 1]
\]
\end{example}

集列 \(\{A_n\}\) 的上限集与下限集都可以用集列 \(\{A_n\}\) 的``和''、``通''运算表示出来. 它们的表达式是: 
\begin{align}
\limsup\limits_n A_n &= \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \bigcup\limits_{m=n}^{\infty} A_m \label{1.4} \\
\liminf\limits_n A_n &= \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \bigcap\limits_{m=n}^{\infty} A_m \label{1.5}
\end{align}

\begin{proof}
	现在证明第一式: 记 \(P = \limsup\limits_n A_n\), \(Q = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \bigcup\limits_{m=n}^{\infty} A_m\). 对于 \(P\) 中的任何元素 \(x\), 由上限集的定义, \(x\) 属于 \(\{A_n\}\) 中无限个集, 不妨设 \(x\) 同时属于集 \(A_{n_1}, A_{n_2}, \dots, A_{n_k}, \dots (n_k < n_{k+1}, k=1, 2, \dots)\). 因此, 对任何自然数 \(n\), 当 \(n_k > n\) 时, \(x \in A_{n_k} \subseteq \bigcup\limits_{m=n}^{\infty} A_m\), 所以 \(x \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \bigcup\limits_{m=n}^{\infty} A_m\), 我们得到 \(P \subseteq Q\). 反过来, 在 \(Q\) 中任意取一个元素 \(y\), 令证明在 \(\{A_n\}\) 中必有无限个集同时含有 \(y\). 事实上, 取 \(n=1\), 因为 \(y \in \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} A_m\), 所以必存在自然数 \(n_1\) 使得 \(y \in A_{n_1}\)；其次, 又因为 \(y \in \bigcup\limits_{m=n_1+1}^{\infty} A_m\), 所以必存在自然数 \(n_2 > n_1\), 使得 \(y \in A_{n_2}\)；这样的手续一直进行下去, 得到一列自然数 \(\{n_k\}\), \(n_1 < n_2 < \cdots < n_k < \cdots\), 而集 \(A_{n_1}, A_{n_2}, \dots, A_{n_k}, \dots\) 等都含有元素 \(y\), 因此, \(y \in P\). 于是又有 \(Q \subseteq P\). 总起来得到 \(P = Q\). 

读者可以完全类似地证明第二式. 
\end{proof}

如果从有关集本身所具有的含义去理解, 等式\eqref{1.4}的成立是很明显的, 事实上, 集 \(B_n = \bigcup\limits_{m=n}^{\infty} A_m\) 正是使命题``集列 \(\{A_m\}\) 中从第 \(n\) 号以后必有集包含它''成立的元素全体, 而 \(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} B_n\) 是使命题``一切 \(B_n (n=1,2,\dots)\) 都包含它''成立的元素全体. 因此, 集 \(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \bigcup\limits_{m=n}^{\infty} A_m\) 就是使命题``对任何 \(n\), 集列 \(\{A_m\}\) 中必存在第 \(n\) 号以后的集包含它''成立的元素全体. 显然, 命题``对任何 \(n\), 集列 \(\{A_m\}\) 中必存在第 \(n\) 号以后的集包含它''和命题``集列 \(\{A_m\}\) 中有无限个集包含它''等价, 所以 \(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \bigcup\limits_{m=n}^{\infty} A_m = \limsup\limits_{m \to \infty} A_m\), 用同样方式可以考察 \(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \bigcap\limits_{m=n}^{\infty} A_m = \liminf\limits_{m \to \infty} A_m\). 

由和通关系容易得到: 

\begin{property}%[14\degree]
设 \(\{A_n\}\) 是任意一列集, \(S\) 是任意一个集, 那么
\begin{align}
S - \limsup\limits_{n \to \infty} A_n &= \liminf\limits_{n \to \infty} (S - A_n) \label{1.6} \\
S - \liminf\limits_{n \to \infty} A_n &= \limsup\limits_{n \to \infty} (S - A_n) \label{1.7}
\end{align}
\end{property}

如果集列 \(\{A_n\}\) 的上限集和下限集相等: 
\[
\limsup\limits_{n \to \infty} A_n = \liminf\limits_{n \to \infty} A_n
\]
那么就说集列 \(\{A_n\}\) \textbf{收敛}. 这时, 称 \(A = \limsup\limits_{n \to \infty} A_n = \liminf\limits_{n \to \infty} A_n\) 是集列 \(\{A_n\}\) 的\textbf{极限}(或\textbf{极限集}), 记为 \(A = \lim\limits_{n \to \infty} A_n\). 

如例2中的集列 \(\left[0, 1 + \frac{1}{n}\right]\), \(n = 1, 2, \dots\) 就是收敛的, 它的极限是 \([0, 1]\). 

{\color{red}\begin{rmk}
	这里集合列的极限实际上可以看作某个拓扑空间中的序列极限. 我们在本节最后补充这个事实.
\end{rmk}}

\subsection{单调集列}

如果集列 \(\{A_n\}\) 满足
\[
A_n \subseteq A_{n+1} \quad (A_n \supseteq A_{n+1}), \quad n=1,2,\dots
\]
那么称 \(\{A_n\}\) 是单调增加(减少)集列. 单调增加与单调减少的集列统称为\textbf{单调集列}. 容易证明: \textbf{单调集列是收敛的}. 

如果 \(\{A_n\}\) 是单调增加的, 那么
\[
\lim\limits_{n \to \infty} A_n = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n
\]
事实上, 对任何 \(x \in \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n\), 必有某个 \(n_0\), 使得 \(x \in A_{n_0}\). 但是 \(A_n \subseteq A_{n+1}(n=1,2,\dots)\), 所以 \(x \in A_n(n \geqslant n_0)\), 从而 \(x \in \liminf\limits_{n \to \infty} A_n\), 即 \(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \subseteq \liminf\limits_{n \to \infty} A_n\). 再根据\eqref{1.3}, 立即得到 \(\lim\limits_{n \to \infty} A_n = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n\). 

类似地, 如果 \(\{A_n\}\) 是单调减少的, 可以证明
\[
\lim\limits_{n \to \infty} A_n = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} A_n
\]

\section{函数与集}

设 \(X\) 是一个不空的集, 如果 \(f\) 把 \(X\) 中的每个元素 \(x\) 都对应于一个实数(或复数)\(f(x)\), 我们便称 \(f\) 是定义在 \(X\) 上的\textbf{实}(或\textbf{复})\textbf{函数}, 有时也记为 \(f(\cdot)\). 和数学分析中完全类似, 我们可以定义一般集上的两个函数 \(f, g\) 的和 \(f+g\), 差 \(f-g\), 积 \(f \cdot g\), 以及绝对值函数 \(|f|\) 等, 同样还可以定义函数列 \(\{f_n(x)\}\) 的收敛等等. 与过去唯一不同的只是现在的自变量 \(x\) 是在一般的集合 \(X\) 上变化, 而不一定是在实数集或复数集中变化. 

在实函数论中, 利用集来分析函数性质时, 常要用到下面类型的集. 当集 \(E\) 上的一个实函数 \(f\) 给定以后, 对于任意给定的实数 \(c\), 按第一段中所说的记号, 我们记
\begin{align*}
E(f \geqslant c) &= \{x \mid x \in E, f(x) \geqslant c\} \\
E(f > c) &= \{x \mid x \in E, f(x) > c\}
\end{align*}
等等, 它们都是由 \(f\) 决定的, 而且是与 \(f\) 有密切联系的集. 为了后面课程的需要, 我们现在先让读者对这些集的性质、运算作一些了解和准备. 例如它们有如下一些关系式: 

\begin{enumerate}%[label=\arabic{*}\degree]
\item \(E(f \geqslant c) \cup E(f < c) = E, \quad E(f \geqslant c) \cap E(f < c) = \varnothing\)
\item \(E(f > c) \cap E(f \leqslant d) = E(c < f \leqslant d)\)\quad (这里 $c<d$)
\item \(E(f^2 > c) = E(f > \sqrt{c}) \cup E(f < -\sqrt{c})\)\quad (这里 \(c \geqslant 0\))
\end{enumerate}

这些性质, 读者无须记住它, 重要的是要逐步熟悉这种处理方法. 

\begin{property}%[4\degree]\begin{align}
	E(f > c) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E\left( f \geqslant c + \frac{1}{n} \right) \label{1.8}
\end{align}
\end{property}
\begin{proof}[等式\eqref{1.8}的证明]
	当 \(x \in E(f > c)\) 时, \(f(x) > c\), 所以必有自然数 \(n\), 使得 \(f(x) \geqslant c + \frac{1}{n}\), 因此 \(x \in E\left( f \geqslant c + \frac{1}{n} \right)\), 即等式\eqref{1.8}的左边的集包含在右边集中. 

另一方面, 如果 \(x \in \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E\left( f \geqslant c + \frac{1}{n} \right)\), 必然存在某个 \(n\), 使 \(x \in E\left( f \geqslant c + \frac{1}{n} \right)\), 这时自然有 \(f(x) > c\), 所以 \(x \in E(f > c)\). 也就是说\eqref{1.8}右边的集也包含在左边集中. 所以\eqref{1.8}成立. 
\end{proof}

\begin{property}%[5\degree]
设实函数列 \(\{f_n\}\) 有极限函数 \(f\), 那么
\begin{align}
	E(f \leqslant c) = \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} \liminf\limits_{n \to \infty} E\left( f_n \leqslant c + \frac{1}{k} \right) \label{1.9}
\end{align}
\end{property}

\begin{proof}
	如果 \(x \in E(f \leqslant c)\), 那么对任何自然数 \(k\), \(f(x) < c + \frac{1}{k}\). 因为 \(f(x)\) 是 \(f_n(x)\) 的极限, 所以必有自然数 \(N\), 使得当 \(n \geqslant N\) 时, \(f_n(x) < c + \frac{1}{k}\). 这就是说, 当 \(n \geqslant N\) 时, \(x \in E\left( f_n \leqslant c + \frac{1}{k} \right)\). 即
\[
x \in \liminf\limits_{n \to \infty} E \left( f_n \leqslant c + \frac{1}{k} \right)
\]
因此\eqref{1.9}式左边的集包含在右边的集中. 

反过来, 如果 \(x \in \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} \liminf\limits_{n \to \infty} E \left( f_n \leqslant c + \frac{1}{k} \right)\), 那么对一切 \(k\), \(x \in \liminf\limits_{n \to \infty} E \left( f_n \leqslant c + \frac{1}{k} \right)\), 这时必有自然数 \(N_k\), 使得当 \(n \geqslant N_k\) 时, \(x \in E \left( f_n \leqslant c + \frac{1}{k} \right)\), 即 \(f_n(x) \leqslant c + \frac{1}{k}\). 令 \(n \to \infty\), 因而对一切自然数 \(k\), \(f(x) \leqslant c + \frac{1}{k}\). 令 \(k \to \infty\), 就得到 \(f(x) \leqslant c\). 这就是 \(x \in E(f \leqslant c)\). 

因此\eqref{1.9}的右边含在左边集中. 所以\eqref{1.9}成立. 
\end{proof}

\begin{rmk}
	\eqref{1.9} 式右边的每个集改为 \(E \left( f_n < c + \frac{1}{k} \right)\) 也是成立的. 而左边的集却不能改为 \(E(f < c)\). 
\end{rmk}

像这样由函数所产生的集的关系式可以举出很多, 读者自己也可以列举并加以证明. 用点集分析的方法来研究函数时, 离不开这些重要的集以及它们的关系式. 反过来, 有时也常会遇到要用函数来研究集的性质. 下面的特征函数便是这方面的一个重要例子. 

\section{集的特征函数}

\begin{definition}
设 \(X\) 是一个固定的非空集, 又设 \(A\) 是 \(X\) 的一个子集. 作 \(X\) 上的函数
\[
\chi_A(x) =
\begin{cases}
1, & \text{当 } x \in A \\
0, & \text{当 } x \notin A
\end{cases}
\]
称 \(\chi_A(x)\) 为集 \(A\) 的\textbf{特征函数}. 显然子集 \(A\) 和它的特征函数之间的对应是一一对应的. 
\end{definition}

特征函数与集之间有下面一些常见的重要等价关系: 

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{0}
\item\label{re1} \(A = X\) 等价于 \(\chi_A(x) \equiv 1\);\\
 \(A = \varnothing\) 等价于 \(\chi_A(x) \equiv 0\). 
\item\label{re2} \(A \subseteq B\) 等价于 \(\chi_A(x) \leqslant \chi_B(x)\)；\\
\(A = B\) 等价于 \(\chi_A(x) = \chi_B(x)\). 
\item\label{re3} \(\chi_{\bigcup\limits_{\alpha \in N} A_\alpha}(x) = \max\limits _{\alpha \in N} \chi_{A_\alpha}(x)\), \(\chi_{\bigcap\limits_{\alpha \in N} A_\alpha}(x) = \min\limits _{\alpha \in N} \chi_{A_\alpha}(x)\). 
\item\label{re4} 设 \(\{A_n\}\) 是一列集, 那么\footnote{数列 \(\{a_n\}\) 的上限 \(\varlimsup\limits_{n \to \infty} a_n\) 和下限 \(\varliminf\limits_{n \to \infty} a_n\) 见本节最后回忆\ref{limrecall}.}
\begin{align}
\chi_{\limsup\limits_{n \to \infty} A_n}(x) &= \varlimsup\limits_{n \to \infty} \chi_{A_n}(x) \label{1.10} \\
\chi_{\liminf\limits_{n \to \infty} A_n}(x) &= \varliminf\limits_{n \to \infty} \chi_{A_n}(x) \label{1.11}
\end{align}
\end{enumerate}
\begin{proof}
	性质 \ref{re1}, \ref{re2}, \ref{re3}的证明留给读者完成. 我们只证明 \ref{re4} 的第一式\eqref{1.10}(\eqref{1.11}可类似地证明). 

如果 \(\chi_{\limsup\limits_{n \to \infty} A_n}(x) = 1\), 那么 \(x \in \limsup\limits_{n \to \infty} A_n\). 这就是说序列 \(\{A_n\}\) 中必有无限个集包含 \(x\), 从而数列 \(\{\chi_{A_n}(x)\}\) 中必有无限个是1. 因此, \(\varlimsup\limits_{n \to \infty} \chi_{A_n}(x) = 1\). 

把上述推导的顺序反过来也就证明了: 如果 \(\varlimsup\limits_{n \to \infty} \chi_{A_n}(x) = 1\), 那么 \(\chi_{\limsup\limits_{n \to \infty} A_n}(x) = 1\). 所以使函数 \(\varlimsup\limits_{n \to \infty} \chi_{A_n}(x)\) 取值为1的元素与使 \(\chi_{\limsup\limits_{n \to \infty} A_n}(x)\) 取值为1的元素一致. 但函数 \(\chi_{\limsup\limits_{n \to \infty} A_n}(x)\), \(\varlimsup\limits_{n \to \infty} \chi_{A_n}(x)\) 的值不取1便取0, 因此 \(X\) 中使这两个函数分别取值为0的元素也一致. 所以这两个函数完全相等. 
\end{proof}

由 \ref{re4} 立即得到

\begin{property}%[5\degree]
设 \(\{A_n\}\) 是一列集, 那么极限 \(\lim\limits_{n \to \infty} A_n\) 存在的充要条件是 \(\lim\limits_{n \to \infty} \chi_{A_n}(x)\) 存在, 而且当极限存在时
\[
\chi_{\lim\limits_{n \to \infty} A_n}(x) = \lim\limits_{n \to \infty} \chi_{A_n}(x)
\]
\end{property}

{\color{red}\begin{recall}[数列的上下极限]\label{limrecall}
	对于一般的实数数列, 尽管极限不一定存在, 但是我们总能定义它的\textbf{上极限}和\textbf{下极限}: 任意给定实数数列$\{x_n\}_{n\geqslant 1}$, 对任意$x\geqslant 1$, 我们令
	\begin{align*}
		\overline x_n=\sup_{\ell\geqslant n}x_\ell,\quad \underline x_n=\inf_{\ell\geqslant n}x_\ell.
	\end{align*}
	很明显, $\{\overline x_n\}_{n\geqslant 1}$是单调下降的序列, $\{\underline x_n\}_{n\geqslant 1}$是单调上升的序列, 所以 $\{\overline x_n\}_{n\geqslant 1}$和$\{\underline x_n\}_{n\geqslant 1}$都有极限(可以是无穷). 据此, 我们定义数列$\{x_n\}_{n\geqslant 1}$的上极限和下极限为
	\begin{align*}
		\varlimsup_{n\to \infty} x_n=&\limsup_{n\to \infty} x_n=\lim_{n\to \infty}\overline x_n=\lim_{n\to\infty}\left(\sup_{\ell\geqslant n}x_{\ell}\right),\\
		\varliminf_{n\to \infty} x_n=&\liminf_{n\to \infty} x_n=\lim_{n\to \infty}\underline x_n=\lim_{n\to\infty}\left(\inf_{\ell\geqslant n}x_{\ell}\right).
	\end{align*}
\end{recall}}

{\color{red}\begin{rmk}[拓扑观念看待集合列的极限]
	之前说集合列的极限实际上可以看作某个拓扑空间中的序列极限, 我们现在来阐述这个事实.
	
	我们知道$A=\bigcap\limits_{\lambda_0\in\Lambda}\bigcup\limits_{\lambda\geqslant\lambda_0}A_\lambda=\bigcup\limits_{\lambda_0\in\Lambda}\bigcap\limits_{\lambda\geqslant\lambda_0}A_\lambda\iff\chi_{A_\lambda}\to\chi_{A}$ (右侧为逐点收敛).
	
	另外, 我们有点收敛拓扑, 他是$2^X$上的乘积拓扑, 通过一个典范的映射$A\mapsto \chi_A$, 将$2^X$上的点收敛拓扑诱导到幂集$\mathcal P(X)$上, 此时集合序列\footnote{这里其实用序列就默认了$\Lambda=\mathbb N^+$(笑). 对于一般的定向集$\Lambda$, 用序列一词并不恰当.}$A_\lambda\to A$等价于特征函数逐点收敛, 即
	\begin{align*}
		A_\lambda\to A\iff \chi_{A_\lambda}\to A\,\text{(逐点收敛)}\iff \chi_{A_\lambda}\to A\,\text{(点拓扑收敛下, 即$2^X$上乘积拓扑)}\\
		\iff A_\lambda\to A\,\text{(在$\mathcal P(X)$上这个拓扑下)}
	\end{align*}
	\begin{align*}
		\text{拓扑基}=\Big\{\{A\colon A\supseteq A_0, A\cap B_0=\varnothing\}\colon A_0,B_0\subseteq X, A_0,B_0\,\text{是有限集}\Big\}
	\end{align*}
\end{rmk}}

\end{document}